初入大学概率论，在高中古典概型之后总会碰到kolmogorov概率定义下的其他概型，最普遍的大区别就是他们从有限个样本点变成了无穷多个。有限个的随机到无限个的随机的转变在历史上一开始似乎也没什么事，但是Bertrand, Joseph 在1889年发表的”Calcul des probabilités“中的那三个圆上的弦在一百多年后的今天还是对”随机“二字的定义有着重要的意义。
那么先来看看这个悖论的内容：
悖论是由一个问题和三种解法构成的，问题是：在一个单位圆上随便放置一个弦，弦长超过√3的概率是多少呢？
1.“随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。为了计算问题中的机率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为三分之一。
2“随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。为了计算问题的机率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为二分之一。
3.“随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的机率亦为四分之一。
经历了高考洗礼的我第一次看到就开始尝试在这三个解法中找出其中两个的毛病，毕竟应该只有一个正确答案，试题是不会出错的。但恰恰相反，这三者就都是正确的。
首先从概念入手，概率P是定义在样本空间和事件集上的一个函数：
P(Ω,F)
对于事件集F”弦长大于√3“显然没有什么歧义，但是在确定无穷样本点的样本空间Ω时，我们其实是有些漏洞的，这个样本空间是”随机放置的那些弦“构成的空间，其中”随机“两个字其实是从来没有被定义过的，问题也正出现在这里，那么什么是随机的弦？
我们来看看使用计算机对上面三种解法进行仿真的结果：
显然可以看到样本空间在三种方法之下都不均匀：1和2的弦分布比弦中点分布显然均匀一些，而3的弦中点分布又比弦分布均匀一些。
也就是说，随机的方法，能够决定随机的结果是以怎么样的一种模样出现，通俗一些说就是：挑东西的方法不同，挑中某一目标的概率也就会有变化。因为我们找了不同的但我们认为概率平均的量度，再把这个量度映射到我们不好直接计算的一个空间上（我们选取的量度或是在周长上，或是在半径上，或是在内部的同心圆上，然后我们再通过一些转换映射得到所谓“随机”的弦），被映射之后就会出现不均匀的随机。不均匀不代表是错的，这主要是出题的人就没说明白弦的随机该怎么选的原因。
其实这一结论在有限的空间上并不难以理解，比如ailor和123xfz两个人要从1-15这15个数中“随机”挑一个数，选到13这个数字的人获胜（如果这是一个数学题，你显然知道每个数的概率都是1/15了，但现实中他们两个显然需要一种量度来得到这种随机），他们挑数字的方法类似，用一个15cm的直尺，扔出去之后接住，大拇指握住的刻度区间对应他们随机挑选的数，那么傻子都知道如果有一把尺子12-13厘米之间的刻度更宽，获胜的概率更高（更不谈现实中其实本就有“扔出去尺子，再接住，接住部分在尺子中间部分的概率会更高”的显而易见的事了）。所以也不难理解现实所谓的“随机”，其实在多种多样的随机方法之下，是很难做到让样本点在样本空间均匀分布的。（初高中的古典概型题目之所以能够成立，是因为题目总是很慷慨给你一些完美的东西：完美的六面体骰子，完美的小球均匀躺在你完全看不见里面的袋子里……）
所以现实中到底什么才是随机呢？距离你想象中完美的随机相差甚远。我想这个悖论更大的启发在于，当我们试图用十分严谨的理论来预测些什么或者是得到什么结论的时候，要切记我们的理论早就是建在万千未必发生的假设之上的了，就像这个悖论问题里选那根弦的人，别人永远不知道这个人用了什么办法来选那根弦，也就自然永远得不到一个绝对的理论了。
当然我也只是谈谈自己的想法，如果你真的对这个内容感兴趣，不妨看看这个更深入的讨论：
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